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“群是现代数学中一个极为重要的概念，它是19世纪法国青年数学家伽罗华(Galois)在研究5次以上代数方程的解法时，于1832年引进的。



群在数学的各个分支中，在许多理论科学和技术科学中都有十分重要的应用。



如相对论中的洛伦兹群，量子力学中的李群，都是现代科学中常识性的工具，今天群论发展成了一门艰深的数学分支。



我们将看到，在适当地定义了易卦集A的运算之后，易卦集A就成为一个交换群，它与模2加群同构。



因此，理所当然地可以把群的基本知识应用到易学研究中。



本章先介绍群的基本概念，然后证明易卦集A是一个群并讨论易卦群的一些性质及其在易学研究中的应用。”



周易继续说道：



“定理4.1.2：



设H是群G的非空子集，H是G的子群的充分必要条件是:对于H的任意两个元素a，b，都有ab^(-1)∈H。



证明过程这里略过，因为前面已经讲解了不少群论的数学基础，



相信以各位大师的水平，已然了然于心熟能生巧，这种简单的证明应该是轻而易举。



下面我们看几个例子。



例4.1.1：...。



例...



...



例4.1.3：



因为易卦群的元素a的逆元就是a本身，a^、=a。



所以，根据定理4.1.2，要验证易卦群A的某一子集H是否A的子群时，只要验证当a，b∈H时，ab^(-1)=ab∈H就可以了。



即只要验证H对A的乘法是封闭的就可以了。



据此，可以验证A的一些有趣的子群。



H_1={乾}={1，1，1，1，1，1 }是A的一阶子群(一个有限群有几个元素就叫做几阶群)。



H_2={乾，坤}={(1，1，1，1，1，1)，(0，0，0，0，0，0)}是A的二阶子群。



A的四阶子群、A的八阶子群这里由于时间有限，留作习题供广大读者练习。



相信你们的智慧肯定是没有问题的哟。”



周易说完第四章，又喝了一大口水，看了看时间，已经凌晨三点了。



周易苦笑道：



“又要熬夜了，不过熬夜也写不完，最多完《周易》与数论、《周易》与组合论。



至于《周易》与概率论、数学在易学之中的应用研究得后面再说了。”



周易揉了揉脑子，然后继续对着牡丹开始说了起来。



要不是牡丹智能程度很高，可以帮忙撰写论文并且帮助排版，



一本一百多页的书根本不可能写出来。



只见周易嘴上念道：



“在第一章中我们曾经谈到秦九韶的《蓍卦发微》和《周易·系辞》中“大衍之数”都涉及到同余的概念。



同余概念是数论中最基本的概念之一。



传统易学的内容是所谓象、数、理、占。因此，《周易》中涉及数论的地方也特别多，如天地数、筮数、河图数等。



不过，其中的数大都比较简单。本章只介绍同余式的概念与易学的关系。



特别是《周易·系辞》筮法涉及到多个数据;‘其用四十有九’的49，



‘分而为二’的2，‘挂一’的1，



‘蝶之以四’的4，‘三变成爻’的3。



对于这些数据，历来都被易学家看得很神秘，能否进行变动?



为什么‘大衍之数’是50?



而其用却又是‘四十有九’等等。